Меню

Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет решение

Занимательные задачи по теме: «Теорема Пифагора». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества задач. Поэтому для формирования понимания значимости теоремы Пифагора при изучении как геометрии, так и других дисциплин, умений применять теорему Пифагора к решению задач я предлагаю восьмиклассникам индивидуальные разноуровневые задачи, требующие творческого подхода в решении и оформлении. Решение таких занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.

Задача №1. Древнеиндийская задача.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5 ) 2 – Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Задача №2. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение.

По теореме Пифагора имеем

Ответ: 8 футов.

Задача №3. Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение.

АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2 =20 2 +(50 – Х) 2 =400+2500 – 100Х+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 .

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ 2 =АС 2 ,

900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 ,
100Х=2000,
Х=20,
АD=20.

Ответ: 20 локтей.

Задача №4. Египетская задача.

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

Решение.

Из АDС по теореме Пифагора

Ответ: 5 футов.

Задача №5.

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение.

Из САК по теореме Пифагора СК 2 = АС 2 + АК 2 ;

(9 – Х) 2 = Х 2 + 3 2 ,

81 – 18Х + Х 2 = Х 2 + 9,

Ответ: 4 фута.

Задача №6.

В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м)?

Решение.

Обозначим глубину озера В D = х, тогда АВ = ВС = х + 1 – длина тростника. Из ?В DС по теореме Пифагора СD 2 = СВ 2 – ВD 2 ,

5 2 = (х + 1) 2 – х 2 ,

25 = х 2 + 2х + 1 – х 2 ,

Значит, глубина пруда 12 футов. 12 • 0,3 = 3,6 (м).

Ответ: 3,6 м.

Задача №7.

Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Из АКD по теореме Пифагора

Читайте также:  Самые глубокие озера россии по регионам

АВ = 45 • 17 = 765 (см) = 7, 65 (м).

б) ВС = 40 • 17 = 680 (см).

Из АСВ по теореме Пифагора

Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.

Задача №8.

Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Решение.

Из АН D по теореме Пифагора

АВ = 2 • АН + НК, АВ = 2 • 2,755 + 0,12 = 5,63 (км).

Ответ: 5,63 км.

Задача №9.

Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.

Решение.

АВ = 50 • 5 = 250 (м). Скорость течения реки , следовательно, течение снесло его за 5 мин. на 500м (ВС=500м). По теореме Пифагора находим расстояние от точки первоначального заплыва до точки выхода на противоположный берег

Ответ: 560 м.

Задача №10.

Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение.

х 2 +а 2 = х 2 +2хв+в 2

Задача №11.

Как далеко видно с маяка данной высоты над уровнем моря?

Решение.

При Н=125 м S = 40 км.

Ответ: с высоты маяка в 125 м обозревается расстояние в 40 км.

Задача №12.

Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.

Решение.

v 2 = 3 2 + 4 2 = 25

Ответ: 5 м/с.

Литература:

  • Семенов Е.Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1987.
  • Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука, 1990.
  • Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1978.
  • Газета «Математика»: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», № 24, 2001 г. «Изучаем теорему Пифагора».
  • Ульянова Е.А. Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок). – Фестиваль «Открытый урок 2005– 2006».
  • Борисова Н.А. Урок-конференция по геометрии в 8-м классе по теме: «Пифагор и его теорема». – Фестиваль «Открытый урок 2005– 2006».

Источник

Занимательные и исторические задачи по теме «Теорема Пифагора»

Нажмите, чтобы узнать подробности

В разработке представлены занимательные и исторические задачи по теме «Теорема Пифагора», которые будет полезно использовать на уроках геометрии и факультативных занятиях.

Просмотр содержимого документа
«Занимательные и исторические задачи по теме «Теорема Пифагора»»

Занимательные и исторические задачи по теме «Теорема Пифагора»

1.Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

2.У египтян была известна задача о лотосе:

«На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну». Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора.

3.Исторические задачи очень часто представляли в стихах

Задача Бхаскари

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Задача древних древних индусов :

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Читайте также:  Домик у озера часть 2 рассказ

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.

CD – глубина озера, обозначим ее x. Тогда по теореме Пифагора имеем: BD 2 – x 2 = BC 2 , то есть (x + 0,5) 2 – x 2 = 2 2 , x 2 + x + 0,25 – x 2 = 4, x= 3,75. Ответ: глубина озера равна 3,75 фута.

4.Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу»

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания?

5.Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний

конец от стены отстояти имать».

Некоторые области применения теоремы Пифагора:

Мобильная связь. Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB=OA+AB, OB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим 2,3 км.

* Окна* Молниеотводы* Крыши. При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

Решение: Треугольник ADC — равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м, тогда: а) Из треугольника DBC: DB=2,5 м. в) Из треугольника ABF: AF= 5,7м

Источник

Оргмомент

Постановка цели и задачи урока

Ребята, сегодня вы познакомитесь с одной из немногих теорем геометрии, которую помнят все учащиеся, узнаете о математике, именем которого названа эта теорема. С помощью данной теоремы научимся решать многие геометрические задачи, а урок начнем с повторения.

Актуализация знаний учащихся

б) решение задач по готовым чертежам с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала.

Повторение

Используется компьютер. С помощью мыши указать верный ответ:

1. Какой треугольник изображен на рисунке?

(Остроугольный? Прямоугольный? Тупоугольный?)

2. Назовите катеты и гипотенузу.

(МК и КР – катеты, МР – гипотенуза.)

3. Какой треугольник изображен на рисунке?

Чем он интересен?

(Равнобедренный, прямоугольный. Углы при основании равны по 45 0 . Его можно достроить до квадрата со стороной, равной катету).

4. Какой треугольник изображен на рисунке?

(Прямоугольный, так как вписан в окружность и одна из его сторон является диаметром этой окружности.)

Решение задач по готовым чертежам

Изучение нового материала

а) историческая справка – рассказ заранее подготовленного ученика.

б) доказательство теоремы.

Историческая справка

Я расскажу вам о математике, именем которого названа теорема.

В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 года до н.э., а умер 500 году до н.э.) О жизни этого учёного известно немного. Зато с его именем связан ряд легенд.

Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и науки зарубежных стран.

Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний

Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так на юге Италии , которая тогда была греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так, что установить о Пифагоре правду невозможно.

Доказательство теоремы

Итак, тема нашего урока “ Теорема Пифагора ”,

которая читается так “ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Запишите в тетради формулировку теоремы и сделаем рисунок. Хочу заметить, что в настоящее время известно более 150 доказательств данной теоремы. Поэтому к следующему уроку постарайтесь найти иные доказательства и показать их нам. Переходим к доказательству теоремы. (С помощью наводящих вопросов учитель ведет записи на доске, ребята в тетради).

Читайте также:  Озера величиной с пруд

Дано : D ABC, Ð C = 90 0 ,AB = c, ВС = a, AC = b

. Доказать: с 2 = a 2 + b 2

а) Достроим квадрат CKPD ;

S (CKPD) = (a+b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 .

б) D BCA = D AKE = D EPM = D MDB (по двум катетам).

S(BCA) = S(AKE) = S(EPM) = S(MDB) = ab/2.

в) BAEM –квадрат, S ( BAEM ) = c 2 .

г )S(CKPD)=S(BAEM)+S(BCA)+S(EPM)+S(MDB)+S(AKE)=c 2 +4ab/2=c 2 +2ab=a 2 +2ab+b 2 , откуда c 2 =a 2 +b 2 .

Тестирование

Составить по рисункам, используя теорему Пифагора, если это

возможно, верное равенство.

Показать мышкой верный ответ:

1) x 2 =3 2 +4 2 : 2) x =3 2 +4 2 : 3) x =3+4.

Правильный ответ: x 2 =3 2 +4 2 .

Вычислите чему равна гипотенуза?

Правильный ответ: 5.

О- центр окружности.

1) d =6 2 +8 2 ; 2) d 2 =6 2 +8 2 ; 3) d =6+8.

Правильный ответ: d 2 =6 2 +8 2 .

Решение старинной задачи

Сейчас решим одну интересную задачу. У древних индусов был обычай предлагать задачи в стихах:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода глубока.?

Дано D CBD Ð C =90 0 .

CD — глубина озера. Обозначим ее х. Тогда по теореме Пифагора имеем:

BD 2 — x 2 = BC 2 , то есть

( x +0,5) 2 — x 2 = 2 2 ,

x 2 + x + 0,25- x 2 = 4,

Подведение итогов урока

Сегодня вы познакомились с замечательной теоремой- теоремой Пифагора, узнали как ее применять, нашли стороны треугольника, который называется египетским. Дома вы о нем прочитаете и на следующем уроке расскажите о “Правиле веревки”.

Домашнее задание

Исследовать: как применить “правило веревки’

при построении прямого угла.

Найти иные доказательства теоремы Пифагора.

Источник



Древнеиндийская задача

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

» Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м)?

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

2.Задача индийского математика XII в. Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал.
И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река
в четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
у тополя как велика высота?

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ. По теореме Пифагора имеем АВ = 5 . CD = CB + BD , CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов.

3. Задача арабского математика XI в

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2

в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2

АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2

АС 2 =400+2500 – 100Х+Х 2

АС 2 =2900 – 100Х+Х 2 .

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ 2 =АС 2 ,

900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 ,

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Источник

Adblock
detector